Условие
В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания
которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника.
В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой
являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья
окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности
треугольников нет двух подобных.
Решение
Пусть
α ≤ β ≤ γ — углы данного треугольника. По условию этот треугольник неравносторонний, поэтому
γ - α > 0. Как видно из решения задачи
78113, углы второго полученного треугольника равны
≥
≥
.
Для него разность между наибольшим и наименьшим углом равна
. Аналогично для
n-го треугольника разность между наибольшим и наименьшим углом равна
. При разных
n эти величины разные, а у подобных треугольников они должны быть одинаковыми.
Источники и прецеденты использования
