Задача 78124

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

Решение

Пусть окружности S₁ и S₂ касаются внешним образом в точке A. Пусть, далее, O₁ и O₂ — их центры, R₁ и R₂ — их радиусы. Докажем, что длина касательной, проведённой из точки B окружности S₁ к окружности S₂, равна AB. Действительно, пусть X — вторая точка пересечения прямой AB с окружностью S₂. Тогда квадрат длины касательной равен BX ^. BA. Ясно, что AB : BX = O₁A : O₁O₂, поэтому

BX ^. BA = = AB².

Ясно, что точки касания трёх равных окружностей с четвёртой окружностью образуют правильный треугольник. Поэтому остаётся доказать, что одно из расстояний от произвольной точки описанной окружности правильного треугольника до его вершины равно сумме двух других расстояний. Пусть точка M лежит на дуге AB описанной окружности правильного треугольника ABC. Тогда BMC = BAC = 60^o. Поэтому если на отрезке MC мы возьмём точку M' так, что MM' = MB, то треугольник MBM' будет правильным. При повороте на 60^o с центром B треугольник BMA переходит в треугольник BM'C, поэтому M'C = MA. Следовательно, MC = MM' + M'C = MB + MA.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	20
Год	1957
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	5