Задача 78160

Темы:    [ Угол (экстремальные свойства) ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Провести из точки O n лучей на плоскости так, чтобы сумма всех попарных углов между ними была наибольшей. (Рассматриваются только углы, не превышающие 180^o.)

Решение

Существует множество способов провести лучи так, чтобы добиться максимальной суммы углов. Например, такой. Если n = 2k, то половину лучей следует провести в одном направлении, а оставшуюся половину — в противоположном. Обозначим сумму попарных углов для n лучей через S(n), тогда S(2k) = k^{2 .} 180^o. Если же n = 2k + 1, то следует k лучей провести в одном направлении, а оставшиеся k + 1 — в другом. Тогда S(2k + 1) = k(k + 1) ^. 180^o. Далее мы будем пользоваться тем, что если на плоскости точки O проведены два противоположно направленных луча OA₁, OA₂, тогда A₃OA₁ + A₃OA₂ = 180^o, где OA₃ — любой другой луч, проведенный из этой же точки. Докажем индукцией по количеству лучей, что такая сумма максимальна. Для n = 1, 2 утверждение очевидно. Предположим, что оно верно для всех nm, тогда докажем его для n = m + 1. Допустим, что существует расстановка m + 1 луча с большей суммой попарных углов между лучами. Рассмотрим OA — один из этих лучей, тогда прямая на которой лежит этот луч, делит все лучи на три группы: лежащие в одной и в другой полуплоскостях, а также лежащие на прямой. Допустим, что среди рассматриваемых лучей нет луча, дополняющего луч OA до прямой. Тогда можно поворачивать луч OA, до тех пор, пока один из лучей не станет дополнять его до прямой. Причём такой поворот в сторону полуплоскости, в которой лучей не меньше, чем в другой, не уменьшает сумму попарных углов между всеми лучами. Таким образом, без ограничения общности можно считать, что луч, дополняющий луч OA до прямой, есть. Выбросив из рассмотрения два противоположно направленных луча, по предположению индукции получим, что сумма попарных углов между оставшимися лучами не может превышать (k - 1)^{2 .} 180^o, если m + 1 = 2k, и k(k - 1) ^. 180^o, если m = 2k + 1. А значит, сумма попарных углов между всеми лучами не превышает (k - 1)^{2 .} 180^o + 2(k - 1) ^. 180^o + 180^o = k^{2 .} 180^o, если m + 1 = 2k, и k(k - 1) ^. 180^o + (2k - 1) ^. 180^o + 180^o = k(k + 1) ^. 180^o, если m = 2k + 1. Получили противоречие, тем самым доказав наше утверждение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	2