Задача 78176
|
|
 |
Условие
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Середины сторон AB и CD обозначим
соответственно через K и M, точку пересечения AM и DK — через O,
точку пересечения BM и CK — через P. Доказать, что площадь
четырёхугольника MOKP равна сумме площадей треугольников BPC и AOD.
Решение
Пусть расстояние от точек A, K и B до прямой CD равны h1, h и
h2. Тогда
h = . Пусть длина стороны CD равна 2a.
Тогда
SCKD = ah,
SADM =
ah1 и
SBCM =
ah2.
Поэтому
SCKD = SADM + SBCM. Вычитая из обеих частей этого равенства
SPCM + SODM, получаем требуемое.
