Задача 78182

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Доказать, что не существует таких натуральных чисел x, y, z, k, что  x^k + y^k = z^k  при условии  x < k,  y < k.

Решение

Предположим, что такие числа существуют. Очевидно,  k > 1.  Без ограничения общности можно считать, что  x ≤ y.  Поскольку x, y, z – натуральные числа, то  z ≥ y + 1.  Тогда  z^k ≥ (y + 1)^k = y^k + ky^k–1 + ... > 2y^k ≥ x^k + y^k.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	22
Год	1959
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	1