|
|
 |
Условие
В квадратную таблицу N×N записаны все целые числа по следующему закону: 1 стоит на любом месте, 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 1, 3 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 2, и так далее. На сколько сумма чисел в столбце, содержащем N², отличается от суммы чисел в строке, содержащей 1.
Решение
Будем обозначать клетку, находящуюся на пересечении строки a и
столбца b, через (а, b). Каждое из чисел 1, 2, ..., N встречается в такой записи всех клеток ровно 2N раз: N раз как номер столбца и N раз как номер строки. Пусть 1 стоит в клетке (а, х). Номер строки, в которой стоит 2, по условию, равен номеру столбца, содержащего 1, то есть х. Значит, 2 стоит в клетке (х, у). Далее, 3 стоит в клетке (у, z) и так далее; наконец, N² стоит в некоторой клетке (m, n). Ясно, что номер а встречается внутри (то есть не на первом и не на последнем месте) цепочки (а, х) → (х, у) → (у, z) → ... → (m, n) чётное число раз. Так как при этом а стоит в начале цепочки и всего встречается чётное число (2N) раз, то этот номер должен стоять и в конце цепочки: n = а. Итак, строка, содержащая 1, имеет тот же номер, что и столбец,
содержащий N².
Рассмотрим любое, кроме 1 и N², число р из столбца, в котором стоит N². Следующее число, то есть р + 1, стоит, как следует из доказанного, в строке, содержащей число 1. Итак, каждому числу из столбца, содержащего N², соответствует на единицу большее число из строки, содержащей 1. Исключение составляет лишь N². Кроме того, число 1 также не имеет себе пары в столбце. Следовательно, искомая разность равна –1·(N – 1) + N² – 1 = N² – N.
Ответ
На N2 – N.
