ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78191
Тема:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны 12 чисел, a1, a2,...a12, причём имеют место следующие неравенства:

a2(a1 - a2 + a3) < 0
a3(a2 - a3 + a4) < 0
.........    
a11(a10 - a11 + a12) < 0

Доказать, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3 положительных и 3 отрицательных.

Решение

Докажем сначала, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3 отрицательных. Для этого разобьём данные числа на три четвёрки подряд идущих чисел и докажем, что в каждой четвёрке встретится хотя бы одно отрицательное число. Предположим, что в некоторой четвёрке a, b, c, d подряд идущих чисел все числа неотрицательны. По условию  b(a - b + c) < 0, следовательно a + c < b. Аналогично, b + d < c. Складывая эти неравенства, получаем a + d < 0, а значит, одно из чисел a, d отрицательно, что противоречит предположению. Таким образом, среди любых четырёх подряд идущих чисел есть хотя бы одно отрицательное. Следовательно, среди данных двенадцати чисел по крайней мере 3 отрицательных. Докажем теперь, что среди данных чисел найдётся по крайней мере 3 положительных. Рассмотрим набор чисел  - a1,..., - a12. Ясно, что этот набор также удовлетворяет условию задачи. Следовательно, в нём есть хотя бы три отрицательных числа, а значит, в исходном наборе есть по крайней мере три положительных числа, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 22
Год 1959
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .