Условие
Даны 12 чисел,
a1,
a2,...
a12, причём имеют место следующие
неравенства:
| a2(a1 - a2 + a3) |
< |
0 |
| a3(a2 - a3 + a4) |
< |
0 |
| ......... |
|
|
| a11(a10 - a11 + a12) |
< |
0 |
Доказать, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3 положительных и
3 отрицательных.
Решение
Докажем сначала, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3
отрицательных. Для этого разобьём данные числа на три четвёрки подряд идущих
чисел и докажем, что в каждой четвёрке встретится хотя бы одно отрицательное
число. Предположим, что в некоторой четвёрке
a,
b,
c,
d подряд идущих чисел
все числа неотрицательны. По условию
b(
a -
b +
c) < 0, следовательно
a +
c <
b.
Аналогично,
b +
d <
c. Складывая эти неравенства, получаем
a +
d < 0, а значит,
одно из чисел
a,
d отрицательно, что противоречит предположению. Таким
образом, среди любых четырёх подряд идущих чисел есть хотя бы одно
отрицательное. Следовательно, среди данных двенадцати чисел по крайней
мере 3 отрицательных.
Докажем теперь, что среди данных чисел найдётся по крайней мере 3
положительных. Рассмотрим набор чисел
-
a1,..., -
a12. Ясно, что этот
набор также удовлетворяет условию задачи. Следовательно, в нём есть хотя бы
три отрицательных числа, а значит, в исходном наборе есть по крайней мере три
положительных числа, что и требовалось.
Источники и прецеденты использования
