ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78204
Темы:    [ Перебор случаев ]
[ Раскладки и разбиения ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Указать все денежные суммы, выраженные целым числом рублей, которые могут быть представлены как чётным, так и нечётным числом денежных билетов. (В обращении имелись билеты достоинством в 1, 3, 5, 10, 25, 50 и 100 рублей.)


Решение 1

  Предположим сначала, что мы имеем денежную сумму в 10 рублей или больше. Покажем, что любая такая сумма может быть представлена как чётным, так и нечётным количеством денежных билетов. Именно, любая чётная денежная сумма (в 10 рублей или более) представляется, с одной стороны, чётным числом билетов достоинством в 1 рубль, а с другой – одним билетом в 10 рублей и ещё чётным числом билетов по одному рублю. Точно так же, любая нечётная денежная сумма (в 10 рублей или более) представляется, с одной стороны, нечётным числом билетов по одному рублю, а с другой – одним билетом в 10 рублей и ещё нечётным числом билетов по одному рублю.
  Рассмотрим теперь денежные суммы, меньшие 10 рублей. Для представления этих сумм в нашем распоряжении имеются лишь билеты достоинством в 1, 3, 5 рублей – все нечётные. Понятно, что нечётное число "нечётных" билетов могут составить лишь нечётную сумму; следовательно, никакую чётную сумму, меньшую 10 рублей, нельзя представить нечётным числом билетов. Аналогично чётное число "нечётных" билетов могут составить лишь чётную сумму; следовательно, никакую нечётную сумму, меньшую 10 рублей, нельзя представить чётным числом билетов.


Решение 2

Все суммы, не меньшие 10 руб., можно оплатить десятирублёвыми и рублёвыми купюрами, причём обязательно использовав десятирублевку. Если при этом получится чётное число купюр, то одну десятирублёвую бумажку можно заменить двумя купюрами по 5 руб., то есть эту сумму можно оплатить и нечётным числом купюр. То же можно сказать, если сначала имеем нечётное число купюр. Для выплаты сумм, меньших 10 руб., имеются купюры в нечётное число рублей. Поэтому эти суммы можно выплатить лишь одним способом: чётную сумму – чётным, а нечётную – нечётным числом купюр.


Ответ

Все суммы, не меньшие 10 рублей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 23
Год 1960
вариант
1
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 1
олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Номер 17
Название 17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1967
неизвестно
Название Задача 8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .