Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

   Решение

Темы:    [ Обыкновенные дроби ] [ Индукция (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

Решение

  Пусть ^m/_n – правильная дробь. Докажем требуемое утверждение индукцией по m.
  База. При  m = 1  утверждение очевидно.
  Шаг индукции. Пусть  m > 1.  Запишем n в виде  n = qm – r,  где  0 ≤ r < m.  Тогда  ^m/_n = ¹/_q + ^r/_qn.  При  r = 0  всё в порядке. В противном случае правильную дробь ^r/_qn можно представить в требуемом виде по предположению индукции. В полученном представлении для ^m/_n не появится одинаковых слагаемых, поскольку  ^r/_qn < ¹/_q.

Замечания

Могут найтись несколько представлений дроби в требуемом виде, например:  ⅜ = ¼ + ⅛ = ⅓ + ¹/₂₄.

Источники и прецеденты использования