Информация о задаче

Задача 78221

Тема:

[

Четырехугольники (экстремальные свойства)

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Даны 4 точки: A, B, C, D. Найти такую точку O, что сумма расстояний от неё до данных точек минимальна.

Решение

При решении задачи могут представиться три возможности.

Точки A, B, C, D образуют выпуклый четырёхугольник. В этом случае для любой точки M имеем неравенства:

MA + MC $\displaystyle \ge$ AC, (83)

MB + MD $\displaystyle \ge$ BD, (84)

складывая которые, мы убедимся в том, что искомой точкой является точка пересечения диагоналей AC и BD. (Для этой точки сумма расстояний до вершин как раз равна AC + BD; для всех остальных точек эта сумма, как мы видим, больше).
Точки A, В, С, D не образуют выпуклого четырёхугольника, но не лежат на одной прямой. В этом случае одна из точек — пусть это будет D — лежит внутри или на стороне треугольника, образованного тремя остальными точками. Пусть точка M лежит внутри или на стороне треугольника BDC (если бы точка M лежала внутри или на стороне треугольника ABD или ACD, рассуждение было бы аналогичным). Проведём прямую AM и рассмотрим ту из вершин В, С, которая лежит по ту же сторону от прямой AM, что и точка D; пусть это будет вершина С. Тогда

AM + СМ $\displaystyle \ge$ AD + CD, (85)

DM + BM $\displaystyle \ge$ BD. (86)

Складывая эти неравенства, мы обнаружим, что

AM + BM + СМ + DM $\displaystyle \ge$ AD + BD + CD,
т. е. для точки D исследуемая сумма минимальна. Если точка D лежит по ту же сторону от прямой AM, что и вершина В, то написанные неравенства заменяются следующими:

AM + BM $\displaystyle \ge$ AD + BD, DM + CM $\displaystyle \ge$ CD,
откуда, складывая, получаем то же соотношение. Если точка D лежит на прямой AM, то применимы любые из написанных неравенств. Итак, во втором случае искомая точка — точка D.
Точки A, В, С и D лежат на одной прямой. Пусть, например, точки С и D лежат между A и В; тогда искомой точкой будет любая точка M отрезка CD (для любой такой точки M сумма AM + BM + CM + DM равна AB + CD; для точки M, не лежащей на отрезке CD, эта сумма, как легко видеть, больше).

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	1