Условие
Каково наибольшее
n, при котором так можно расположить
n точек на
плоскости, чтобы каждые 3 из них служили вершинами прямоугольного
треугольника?
Решение
Выберем из всех отрезков, соединяющих (попарно) все
точки, наибольший (или один из наибольших) и обозначим его через
AB.
Очевидно, что во всех треугольниках, содержащих точки
A и В как вершины,
отрезок
AB (как наибольший) должен лежать против прямого угла. Таким
образом,
все рассматриваемые точки лежат на окружности с диаметром
AB.
Пусть С — одна из точек. Выясним, где может лежать ещё одна
точка
D, если она существует.
В треугольнике
ACD угол
ACD не прямой, так как иначе точка
D
совпадала бы с точкой В. Далее,
ADC
90
o, так
как он опирается на хорду
AC, не являющуюся диаметром.
Следовательно, в треугольнике
ACD прямым должен быть угол
DAC; отсюда
следует, что
CD — диаметр.
Итак, если кроме
A, В, С есть ещё точки, то любая из них должна
совпадать с концом диаметра, проходящего через точку С, откуда ясно, что
наибольшее возможное значение
n равно 4 (четыре точки расположены в
вершинах прямоугольника).
(Решение из книги [#!Leman!#].)
Источники и прецеденты использования
