Задача 78225

Темы:    [ Системы точек ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Каково наибольшее n, при котором так можно расположить n точек на плоскости, чтобы каждые 3 из них служили вершинами прямоугольного треугольника?

Решение

Выберем из всех отрезков, соединяющих (попарно) все точки, наибольший (или один из наибольших) и обозначим его через AB. Очевидно, что во всех треугольниках, содержащих точки A и В как вершины, отрезок AB (как наибольший) должен лежать против прямого угла. Таким образом, все рассматриваемые точки лежат на окружности с диаметром AB. Пусть С — одна из точек. Выясним, где может лежать ещё одна точка D, если она существует. В треугольнике ACD угол ACD не прямой, так как иначе точка D совпадала бы с точкой В. Далее, ADC90^o, так как он опирается на хорду AC, не являющуюся диаметром. Следовательно, в треугольнике ACD прямым должен быть угол DAC; отсюда следует, что CD — диаметр. Итак, если кроме A, В, С есть ещё точки, то любая из них должна совпадать с концом диаметра, проходящего через точку С, откуда ясно, что наибольшее возможное значение n равно 4 (четыре точки расположены в вершинах прямоугольника). (Решение из книги [#!Leman!#].)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	1