Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.

   Решение

Задача 78230
Тема:    [ Повороты на 60 и 120 ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Решение

Пусть K, L, M и N — вершины правильных треугольников, построенных на сторонах BC, AB, AF и  FE; B1, A1 и F1 — середины отрезков KL, LM и  MN (рис.???). Пусть, далее, $ \vec{a}\,$ = $ \overrightarrow{BC}$ = $ \overrightarrow{FE}$, $ \vec{b}\,$ = $ \overrightarrow{AB}$ и  $ \vec{c}\,$ = $ \overrightarrow{AF}$; R — поворот на 60o, переводящий вектор $ \overrightarrow{BC}$ в  $ \overrightarrow{BK}$. Тогда $ \overrightarrow{AM}$ = - R2$ \vec{c}\,$ и  $ \overrightarrow{FN}$ = - R2$ \vec{a}\,$. Поэтому 2$ \overrightarrow{A_1B_1}$ = R2$ \vec{c}\,$ + R$ \vec{a}\,$ + $ \vec{b}\,$ и  2$ \overrightarrow{F_1A_1}$ = R2$ \vec{a}\,$ - $ \vec{c}\,$ + R$ \vec{b}\,$, т. е. $ \overrightarrow{F_1A_1}$ = R($ \overrightarrow{A_1B_1}$).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 23
Год 1960
вариант
1
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .