Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD, причем отрезки KM и LN параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке O. Докажите, что площади параллелограммов KBLO и MDNO равны тогда и только тогда, когда точка O лежит на диагонали AC.

   Решение

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найти геометрическое место центров прямоугольников, описанных около данного остроугольного треугольника.

Решение

По смыслу термина "описанный", каждая сторона прямоугольника должна проходить через какую-нибудь вершину треугольника. Так как при этом вершин у треугольника на одну меньше, чем сторон у прямоугольника, то хотя бы одна вершина прямоугольника должна совпадать с одной из вершин треугольника. Мы будем называть такую вершину "главной". Пусть A — главная вершина треугольника, Q — совпадающая с ней вершина прямоугольника, N — вершина прямоугольника, противоположная Q. Так как CNB = 90^o, то, очевидно, точка N лежит на полуокружности, построенной на стороне BC, как на диаметре (полуокружность лежит вне треугольника ABC). Пусть теперь R и S — середины сторон AC и AB, O — точка пересечения средней линии RS с медианой AL к стороне BC; X — произвольная точка построенной полуокружности, Y — середина отрезка AX. В треугольнике ALX

так как OY — средняя линия. Стало быть, точка Y лежит на полуокружности радиуса

построенной на RS, как на диаметре. Заметим теперь, что центр прямоугольника есть точка пересечения его диагоналей и, значит, середина любой диагонали. Пока вершина A треугольника остаётся главной, центр прямоугольника описывает, как мы показали, какую-то часть дуги полуокружности, построенной на RS, как на диаметре. Выясним, какую именно часть полуокружности описывает центр прямоугольника. Если A — главная вершина, то сторона PN прямоугольника образует со стороной AC треугольника тупой угол: NCA90^o. Этот угол становится прямым как раз тогда, когда роль главной вершины переходит к точке С. Точно так же угол NBA не меньше 90^o. Построим перпендикуляры к сторонам AC и AB в точках С и В (соответственно); они высекают на дуге полуокружности как раз ту её часть, которая заметается вершиной N прямоугольника. Если теперь построить на средних линиях треугольника ABC дуги полуокружностей вдвое меньшего радиуса и выделить на них соответствующие части, то образуется криволинейный треугольник, который и является искомым множеством.

Источники и прецеденты использования