|
|
 |
Условие
Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
Решение
Пусть кто-то из собравшихся – назовём его X – имеет m знакомых: a1, a2, ..., am. По условию, никакие два человека из a1, a2, ..., am друг с другом не знакомы. Значит, для каждых двух человек ai, aj должен найтись ещё один общий знакомый кроме X. Этот человек не знаком с X; при этом разным парам (ai, aj) должны соответствовать разные люди (если бы один и тот же человек был общим знакомым одновременно для двух таких пар, то он имел бы с X более двух общих знакомых). Мы видим, что число всех людей, не знакомых с X, не меньше, чем число ½ m(m – 1) пар из людей a1, a2, ..., am.
С другой стороны, каждый человек, не знакомый с X, имеет с ним ровно двух общих знакомых – разумеется, из числа a1, a2, ..., am. При этом разным людям соответствуют разные пары. Таким образом, число людей, не знакомых с X, не больше, чем ½ m(m – 1). Следовательно, n = 1 + m + ½ m(m – 1). Мы получили квадратное уравнение относительно m. Легко видеть, что оно имеет только один положительный корень, а это и означает, что каждый имеет одинаковое число знакомых.
