Информация о задаче

Задача 78243

Темы:	[	Псевдоскалярное произведение	]
Темы:	[	Вычисление площадей	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и точка O. M₁, M₂, M₃ — центры тяжести треугольников OAB, OBC, OCA соответственно. Доказать, что площадь треугольника M₁M₂M₃ равна 1/9 площади ABC.

Решение

S_ABC = $\left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]}\right.$ $\left[\vphantom{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}}\right.$ $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{BC}$ $\left.\vphantom{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}}\right]$ $\left.\vphantom{\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]}\right\vert$ = $\left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}\right]}\right.$ $\left[\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}}\right.$ $\overrightarrow{OB}$ - $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ - $\overrightarrow{OC}$ $\left.\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}}\right]$ $\left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}\right]}\right\vert$ . Аналогично S_M₁M₂M₃ = $\left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}\right]}\right.$ $\left[\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}}\right.$ $\overrightarrow{OM_2}$ - $\overrightarrow{OM_1}$ , $\overrightarrow{OM_3}$ - $\overrightarrow{OM_2}$ $\left.\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}}\right]$ $\left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}\right]}\right\vert$ . При этом $\overrightarrow{OM_1}$ = ${\frac{1}{3}}$ ( $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OO}$ ) = ${\frac{1}{3}}$ ( $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ ), поскольку радиус-вектор центра масс треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника. Аналогично $\overrightarrow{OM_2}$ = ${\frac{1}{3}}$ ( $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OC}$ ), $\overrightarrow{OM_3}$ = ${\frac{1}{3}}$ ( $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ ). Тогда, $\overrightarrow{OM_2}$ - $\overrightarrow{OM_1}$ = ${\frac{1}{3}}$ ( $\overrightarrow{OC}$ + $\overrightarrow{OA}$ ), $\overrightarrow{OM_3}$ - $\overrightarrow{OM_2}$ = ${\frac{1}{3}}$ ( $\overrightarrow{OC}$ + $\overrightarrow{OB}$ ). А значит, S_M₁M₂M₃ = $\left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}\right]}\right.$ $\left[\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}}\right.$ $\overrightarrow{OM_2}$ - $\overrightarrow{OM_1}$ , $\overrightarrow{OM_3}$ - $\overrightarrow{OM_2}$ $\left.\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}}\right]$ $\left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}\right]}\right\vert$ = ${\frac{1}{9}}$ $\left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}\right]}\right.$ $\left[\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}}\right.$ $\overrightarrow{OB}$ - $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ - $\overrightarrow{OC}$ $\left.\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}}\right]$ $\left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}\right]}\right\vert$ = ${\frac{1}{9}}$ S_ABC, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	1


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	1