ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78243
Темы:    [ Псевдоскалярное произведение ]
[ Вычисление площадей ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и точка O. M1, M2, M3 — центры тяжести треугольников OAB, OBC, OCA соответственно. Доказать, что площадь треугольника M1M2M3 равна 1/9 площади ABC.

Решение

S$\scriptstyle \triangle$ABC = $ \left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]}\right.$$ \left[\vphantom{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}}\right.$$ \overrightarrow{BA}$,$ \overrightarrow{BC}$$ \left.\vphantom{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}}\right]$$ \left.\vphantom{\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]}\right\vert$ = $ \left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}\right]}\right.$$ \left[\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}}\right.$$ \overrightarrow{OB}$ - $ \overrightarrow{OA}$,$ \overrightarrow{OB}$ - $ \overrightarrow{OC}$$ \left.\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}}\right]$$ \left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}\right]}\right\vert$. Аналогично S$\scriptstyle \triangle$M1M2M3 = $ \left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}\right]}\right.$$ \left[\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}}\right.$$ \overrightarrow{OM_2}$ - $ \overrightarrow{OM_1}$,$ \overrightarrow{OM_3}$ - $ \overrightarrow{OM_2}$$ \left.\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}}\right]$$ \left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}\right]}\right\vert$. При этом $ \overrightarrow{OM_1}$ = $ {\frac{1}{3}}$($ \overrightarrow{OA}$ + $ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OO}$) = $ {\frac{1}{3}}$($ \overrightarrow{OA}$ + $ \overrightarrow{OB}$), поскольку радиус-вектор центра масс треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника. Аналогично $ \overrightarrow{OM_2}$ = $ {\frac{1}{3}}$($ \overrightarrow{OA}$ + $ \overrightarrow{OC}$), $ \overrightarrow{OM_3}$ = $ {\frac{1}{3}}$($ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OC}$). Тогда, $ \overrightarrow{OM_2}$ - $ \overrightarrow{OM_1}$ = $ {\frac{1}{3}}$($ \overrightarrow{OC}$ + $ \overrightarrow{OA}$), $ \overrightarrow{OM_3}$ - $ \overrightarrow{OM_2}$ = $ {\frac{1}{3}}$($ \overrightarrow{OC}$ + $ \overrightarrow{OB}$). А значит, S$\scriptstyle \triangle$M1M2M3 = $ \left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}\right]}\right.$$ \left[\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}}\right.$$ \overrightarrow{OM_2}$ - $ \overrightarrow{OM_1}$,$ \overrightarrow{OM_3}$ - $ \overrightarrow{OM_2}$$ \left.\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}}\right]$$ \left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}\right]}\right\vert$ = $ {\frac{1}{9}}$$ \left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}\right]}\right.$$ \left[\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}}\right.$$ \overrightarrow{OB}$ - $ \overrightarrow{OA}$,$ \overrightarrow{OB}$ - $ \overrightarrow{OC}$$ \left.\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}}\right]$$ \left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}\right]}\right\vert$ = $ {\frac{1}{9}}$S$\scriptstyle \triangle$ABC, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .