Условие
Дан треугольник
ABC и точка
O.
M1,
M2,
M3 — центры тяжести
треугольников
OAB,
OBC,
OCA соответственно. Доказать, что площадь
треугольника
M1M2M3 равна 1/9 площади
ABC.
Решение
S
ABC =
![$ \left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]}\right.$](show_document.php?id=1057775)
![$ \left[\vphantom{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}}\right.$](show_document.php?id=1057776)
![$ \overrightarrow{BA}$](show_document.php?id=1057777)
,
![$ \overrightarrow{BC}$](show_document.php?id=1057778)
![$ \left.\vphantom{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}}\right]$](show_document.php?id=1057779)
![$ \left.\vphantom{\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]}\right\vert$](show_document.php?id=1057780)
=
![$ \left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}\right]}\right.$](show_document.php?id=1057834)
![$ \left[\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}}\right.$](show_document.php?id=1057835)
![$ \overrightarrow{OB}$](show_document.php?id=1057838)
-
![$ \overrightarrow{OA}$](show_document.php?id=1057837)
,
![$ \overrightarrow{OB}$](show_document.php?id=1057838)
-
![$ \overrightarrow{OC}$](show_document.php?id=1057839)
![$ \left.\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}}\right]$](show_document.php?id=1057840)
![$ \left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}\right]}\right\vert$](show_document.php?id=1057841)
. Аналогично
S
M1M2M3 =
![$ \left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}\right]}\right.$](show_document.php?id=1057825)
![$ \left[\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}}\right.$](show_document.php?id=1057826)
![$ \overrightarrow{OM_2}$](show_document.php?id=1057830)
-
![$ \overrightarrow{OM_1}$](show_document.php?id=1057828)
,
![$ \overrightarrow{OM_3}$](show_document.php?id=1057829)
-
![$ \overrightarrow{OM_2}$](show_document.php?id=1057830)
![$ \left.\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}}\right]$](show_document.php?id=1057831)
![$ \left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}\right]}\right\vert$](show_document.php?id=1057832)
. При этом
![$ \overrightarrow{OM_1}$](show_document.php?id=1057828)
=
![$ {\frac{1}{3}}$](show_document.php?id=1057821)
(
![$ \overrightarrow{OA}$](show_document.php?id=1057837)
+
![$ \overrightarrow{OB}$](show_document.php?id=1057838)
+
![$ \overrightarrow{OO}$](show_document.php?id=1057802)
) =
![$ {\frac{1}{3}}$](show_document.php?id=1057821)
(
![$ \overrightarrow{OA}$](show_document.php?id=1057837)
+
![$ \overrightarrow{OB}$](show_document.php?id=1057838)
), поскольку радиус-вектор центра
масс треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин
треугольника. Аналогично
![$ \overrightarrow{OM_2}$](show_document.php?id=1057830)
=
![$ {\frac{1}{3}}$](show_document.php?id=1057821)
(
![$ \overrightarrow{OA}$](show_document.php?id=1057837)
+
![$ \overrightarrow{OC}$](show_document.php?id=1057839)
),
![$ \overrightarrow{OM_3}$](show_document.php?id=1057829)
=
![$ {\frac{1}{3}}$](show_document.php?id=1057821)
(
![$ \overrightarrow{OB}$](show_document.php?id=1057838)
+
![$ \overrightarrow{OC}$](show_document.php?id=1057839)
). Тогда,
![$ \overrightarrow{OM_2}$](show_document.php?id=1057830)
-
![$ \overrightarrow{OM_1}$](show_document.php?id=1057828)
=
![$ {\frac{1}{3}}$](show_document.php?id=1057821)
(
![$ \overrightarrow{OC}$](show_document.php?id=1057839)
+
![$ \overrightarrow{OA}$](show_document.php?id=1057837)
),
![$ \overrightarrow{OM_3}$](show_document.php?id=1057829)
-
![$ \overrightarrow{OM_2}$](show_document.php?id=1057830)
=
![$ {\frac{1}{3}}$](show_document.php?id=1057821)
(
![$ \overrightarrow{OC}$](show_document.php?id=1057839)
+
![$ \overrightarrow{OB}$](show_document.php?id=1057838)
).
А значит,
S
M1M2M3 =
![$ \left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}\right]}\right.$](show_document.php?id=1057825)
![$ \left[\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}}\right.$](show_document.php?id=1057826)
![$ \overrightarrow{OM_2}$](show_document.php?id=1057830)
-
![$ \overrightarrow{OM_1}$](show_document.php?id=1057828)
,
![$ \overrightarrow{OM_3}$](show_document.php?id=1057829)
-
![$ \overrightarrow{OM_2}$](show_document.php?id=1057830)
![$ \left.\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}}\right]$](show_document.php?id=1057831)
![$ \left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}-
\overrightarrow{OM_2}\right]}\right\vert$](show_document.php?id=1057832)
=
![$ {\frac{1}{9}}$](show_document.php?id=1057842)
![$ \left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}\right]}\right.$](show_document.php?id=1057834)
![$ \left[\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}}\right.$](show_document.php?id=1057835)
![$ \overrightarrow{OB}$](show_document.php?id=1057838)
-
![$ \overrightarrow{OA}$](show_document.php?id=1057837)
,
![$ \overrightarrow{OB}$](show_document.php?id=1057838)
-
![$ \overrightarrow{OC}$](show_document.php?id=1057839)
![$ \left.\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}}\right]$](show_document.php?id=1057840)
![$ \left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}-
\overrightarrow{OC}\right]}\right\vert$](show_document.php?id=1057841)
=
S
ABC, что и требовалось
доказать.
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