Задача 78248
|
|
 |
Условие
Доказать, что можно так расположить числа от 1 до n² в таблицу n×n, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.
Решение
Сначала расставим числа так: в первую строчку 1, 2, ..., n, во вторую
n + 1, n + 2, ..., n + n, и т.д. Тогда в k-й строчке будут стоять числа (k – 1)n + 1,
(k – 1)n + 2, ..., (k – 1)n + n, а значит, в j-м столбце – j, n + j, ..., (n – 1)n + j. Эта таблица ещё не удовлетворяет условию задачи, поэтому в каждой сточке этой таблицы сдвинем все числа по кругу на номер строки. Теперь сумма чисел в каждом столбце представима в виде n + 2n + ... + (n – 1)n + 1 + 2 + ... + n, поскольку в эту сумму входит ровно по одному числу из каждого столбца и каждой строки первоначальной таблицы.
