ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78250
Темы:    [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если A, B, C — любые три из них, то внутри треугольника ABC нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник A1A2...An будет выпуклым.

Решение

Рассмотрим выпуклую оболочку всех точек — это выпуклый многоугольник M с вершинами в данных точках. Докажем, что ни одна из точек не может лежать на стороне и внутри многоугольника. Для этого рассмотрим одну из вершин, тогда весь многоугольник разбивается диагоналями, проведёнными из данной вершины, на треугольники, причём ни в одном из них по условию не может лежать ещё одна из данных точек. Значит, все данные точки являются вершинами многоугольника M, т. е. M является искомым выпуклым многоугольником.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .