|
|
 |
Условие
Коля и Петя делят 2n + 1 орехов, n2, причём каждый хочет получать
возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три
этапа).
1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.
2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного
ореха.
1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.
3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;
При втором способе Коля берёт обе средние части;
При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние
части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.
Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для
него.
Решение
Покажем, что первый способ для Коли – наиболее выгодный, а остальные 2 – наименее выгодные. Докажем, что при первом способе дележа Коля может гарантировать себе хотя бы n+1 орех, а Петя – хотя бы n орехов. Тем самым при наилучших действиях каждой из сторон Коля получит ровно n+1 орех. Стратегия Коли такова: разделить каждую из Петиных частей на две части, одна из которых содержит ровно 1 орех. В этом случае, на какие бы две части не разделил Петя исходное количество, Коля заведомо получит хотя бы n+1 орех. Стратегия Пети такова: разделить все орехи на части из n и из n+1 орехов. Легко проверить, что независимо от действий Коли Пете достанется не меньше n орехов. Действительно, пусть a - наибольшая часть. Тогда есть часть b, для которой a+b=n+1 или n. Но Коля получил заведомо не более a+b орехов, значит Пете остается не менее n. Докажем теперь, что при втором способе дележа Коля может гарантировать себе хотя бы n орехов, а Петя – хотя бы n+1 орех. Действительно, стратегия Пети такова: разделить все орехи на две части: из 2n-1 и из 2 орехов. Тогда Пете останется не менее n+1 ореха. Стратегия Коли: разделить обе Петины части примерно пополам, то есть так, чтобы число орехов в соответствующих частях либо совпадало, либо отличалось ровно на 1. Тогда Коля гарантирует себе n орехов. При третьем способе дележа Коля гарантирует себе n орехов, а Петя – n+1 орехов. Стратегии такие же, как в первом случае.
