Задача 78271

Темы:    [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Расстояние от фиксированной точки P плоскости до двух вершин A, B равностороннего треугольника ABC равны AP = 2; BP = 3. Определить, какое максимальное значение может иметь отрезок PC.

Решение

Пусть A, B, C и Р — такие точки плоскости, что AB = BC = CA, AP = 2, BP = 3. Проведём из точки B такой луч BM, что CBM = ABP, и отложим на этом луче отрезок BP' = PB. Из равенства углов: CBM = ABP вытекает, что PBP' = ABC = 60^o, и поэтому треугольник PBP' — равносторонний (ибо PB = BP'). Следовательно, PP' = PB = 3. Далее, PAВ = Р'CB (так как AВ = BC, PB = Р'В, ABP = CBP'). Следовательно, Р'С = РA = 2. Таким образом, ломаная PP'С имеет длину PP' + Р'С = 3 + 2 = 5, а потому длина отрезка PC не может быть больше 5. Точку A выберем произвольно на расстоянии AP = 2 от данной точки P. Проведём окружности радиусов R₁ = 3, R₂ = 5 с центром в точке Р и повернём вторую окружность на угол 60^o относительно точки A. Пусть Р' — центр новой окружности, AР = AP' = 2, PAР' = 60^o. В качестве точки В выберем точку пересечения вновь построенной окружности с окружностью радиуса R₁ = 3, построенной ранее. Таким образом, максимальное возможное расстояние от точки Р до точки С равно 5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	4