ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78271
Темы:    [ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Расстояние от фиксированной точки P плоскости до двух вершин A, B равностороннего треугольника ABC равны AP = 2; BP = 3. Определить, какое максимальное значение может иметь отрезок PC.

Решение

Пусть A, B, C и Р — такие точки плоскости, что AB = BC = CA, AP = 2, BP = 3. Проведём из точки B такой луч BM, что $ \angle$CBM = $ \angle$ABP, и отложим на этом луче отрезок BP' = PB. Из равенства углов: $ \angle$CBM = $ \angle$ABP вытекает, что $ \angle$PBP' = $ \angle$ABC = 60o, и поэтому треугольник PBP' — равносторонний (ибо PB = BP'). Следовательно, PP' = PB = 3. Далее, $ \triangle$PAВ = $ \triangle$Р'CB (так как AВ = BC, PB = Р'В, $ \angle$ABP = $ \angle$CBP'). Следовательно, Р'С = РA = 2. Таким образом, ломаная PP'С имеет длину PP' + Р'С = 3 + 2 = 5, а потому длина отрезка PC не может быть больше 5. Точку A выберем произвольно на расстоянии AP = 2 от данной точки P. Проведём окружности радиусов R1 = 3, R2 = 5 с центром в точке Р и повернём вторую окружность на угол 60o относительно точки A. Пусть Р' — центр новой окружности, AР = AP' = 2, $ \angle$PAР' = 60o. В качестве точки В выберем точку пересечения вновь построенной окружности с окружностью радиуса R1 = 3, построенной ранее. Таким образом, максимальное возможное расстояние от точки Р до точки С равно 5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .