ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78269  (#1)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел

a1... an ...
b1... bn ...
c1... cn ...

найдутся такие номера p и q, что

ap$\displaystyle \ge$aq, bp$\displaystyle \ge$bq, cp$\displaystyle \ge$cq.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78270  (#2)

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Площади криволинейных фигур ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Доказать, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78265  (#3)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78271  (#4)

Темы:   [ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Расстояние от фиксированной точки P плоскости до двух вершин A, B равностороннего треугольника ABC равны AP = 2; BP = 3. Определить, какое максимальное значение может иметь отрезок PC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78272  (#5)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2k. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д. Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .