Информация о задаче

Задача 78270

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
Темы:	[	Площади криволинейных фигур	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Доказать, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.

Решение

Окружим каждый квадрат со стороной 1 "пограничной полосой" ширины ${\frac{1}{2}}$ . Площадь образовавшейся овальной фигуры, состоящей из квадрата и `` пограничной полосы'', как легко видеть, равна 1 + 4^.1^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + 4^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ^. $\displaystyle \pi$ $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \Bigr)^{2}_{}$ т. е. равна 3 + $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ , и, значит, меньше 3,79, ибо $\pi$ < 3, 16. Все 120 таких фигур занимают площадь, не большую, чем

120^.3, 79 = 454, 8 < 455.

Далее, все точки прямоугольника, отстоящие от его контура более чем на $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ , образуют меньший прямоугольник, размером 19×24, площадь которого равна 19^.24 = 456. Отсюда следует, что в этом меньшем прямоугольнике найдется точка O, не лежащая ни внутри, ни на границе ни одной из овальных фигур. Круг радиуса $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ с центром в этой точке O, очевидно, не пересекается ни с каким квадратом, так как в противном случае выбранная точка попала бы внутрь `` пограничной полосы'' этого квадрата. Кроме того, круг радиуса $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ с центром в O лежит целиком в прямоугольнике 20×25. Тем самым утверждение доказано.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	2