ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78273
Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана прямая l, перпендикулярная отрезку AB и пересекающая его. Для любой точки M прямой l строится такая точка N, что $ \angle$NAB = 2$ \angle$MAB; $ \angle$NBA = 2$ \angle$MBA. Доказать, что абсолютная величина разности AN - BN не зависит от выбора точки M на прямой l.

Решение

Для каждой точки M можно построить две точки N, симметричных относительно прямой AB. Разность AN - BN для обеих точек одна и та же, поэтому можно считать, что точки M и N лежат по одну сторону от прямой AB. Тогда точка M является центром вписанной окружности треугольника ANB. Поэтому AN - BN = AK - BK, где K — точка касания вписанной окружности со стороной AB, т.е. точка пересечения прямых AB и l. Точка K не зависит от выбора точки M, поэтому разность AN - BN тоже не зависит от выбора точки M.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 25
Год 1962
вариант
1
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .