|
|
 |
Условие
Дана прямая l, перпендикулярная отрезку AB и пересекающая его. Для любой
точки M прямой l строится такая точка N, что
NAB = 2
MAB;
NBA = 2
MBA. Доказать, что абсолютная величина разности AN - BN не
зависит от выбора точки M на прямой l.
Решение
Для каждой точки M можно построить две точки N, симметричных относительно прямой AB. Разность AN - BN для обеих точек одна и та же, поэтому можно считать, что точки M и N лежат по одну сторону от прямой AB. Тогда точка M является центром вписанной окружности треугольника ANB. Поэтому AN - BN = AK - BK, где K — точка касания вписанной окружности со стороной AB, т.е. точка пересечения прямых AB и l. Точка K не зависит от выбора точки M, поэтому разность AN - BN тоже не зависит от выбора точки M.
