Задача 78282

Тема:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Дана система уравнений:
   
Какие значения может принимать x₂₅?

Решение

Заметим, что произведение x₁...x_k удовлетворяет уравнению  x + ¹/_x = 1  ⇒  x² – x – 1 = 0.  Поэтому  x₁...x_k = .  С другой стороны, по той же причине  x₁...x_k+1 = .  Отcюда получаем, что     где  ε_1,2 = ±1.  Поэтому  x₂₅ = 1  или  – .  В первом случае подходит пример     Во втором случае подходит пример    

Ответ

1 и  – .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4