Информация о задаче

Задача 78283

Тема:

[

Примеры и контрпримеры. Конструкции

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна 1962.

Решение

Разобьём меньшую сторону прямоугольника на большое число n равных отрезков малой длины $\alpha$ . Большую сторону также разобьём на m отрезков длины $\alpha$ ; при этом мы можем получить остаток, который, во всяком случае, меньше $\alpha$ . Затем весь прямоугольник разобьём на mn квадратов со стороной $\alpha$ и (быть может) ещё один вытянутый прямоугольник, одна сторона которого не превосходит 1 (она равна той стороне исходного прямоугольника, которая не больше другой), а вторая меньше $\alpha$ (рис. 82). Так как площадь прямоугольника равна 1, то

mn^. $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ + 1^. $\displaystyle \alpha$ > 1, т. е. mn > $\displaystyle {\frac{1-\alpha}{\alpha^2}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\alpha^2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{\alpha}}$ .

Впишем теперь в каждый из квадратов со стороной $\alpha$ окружность радиуса $\alpha$ /2; тогда сумма радиусов всех этих окружностей будет равна

mn^. $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ > $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\alpha^2}-\frac{1}{\alpha}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{\alpha^2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{\alpha}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\alpha^2}-\frac{1}{\alpha}}\right)$ ^. $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{2\alpha}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Выбрав $\alpha$ достаточно малым, мы сможем добиться того, чтобы эта сумма была больше любого наперед заданного числа, например больше 1962. Уменьшив затем радиусы окружностей до величины ${\frac{1962}{mn}}$ , мы получим внутри прямоугольника mn непересекающихся окружностей, сумма радиусов которых точно равна 1962.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	5