|
|
 |
Условие
"Уголком" называется фигура, составленная из трёх квадратов со стороной
1 в виде буквы "Г".
Доказать, что прямоугольник размерами 1961×1963 нельзя разбить на уголки, а прямоугольник размерами 1963×1965 – можно.
Решение
Так как площадь "уголка" равна 3, то площадь прямоугольника, который
можно разбить на "уголки", должна делиться на 3. Ни одно из чисел 1961 и 1963 на 3 не делится, и поэтому не делится на 3 и их произведение 1961·1963, так что первое утверждение доказано.
Покажем, что второй прямоугольник разбить на "уголки" можно. Для этого
прямыми, параллельными сторонам прямоугольника, разобьём его на
прямоугольники 1965×1958, 1956×5 и 5×9 и покажем, что каждый из этих трёх прямоугольников можно разбить на "уголки". У первого прямоугольника длина одной стороны чётна, длина другой делится на 3; следовательно, его можно разбить на прямоугольники 2×3, каждый из которых в свою очередь разбивается на два "уголка". У второго прямоугольника одна сторона равна 5, длина другой делится на 6; разобьём его на прямоугольники 5×6, каждый из которых также разбивается на прямоугольники 2×3. Наконец, разобьём на "уголки"
прямоугольник 5×9, как показано на рисунке.
