ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78289
Темы:    [ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

"Уголком" называется фигура, составленная из трёх квадратов со стороной 1 в виде буквы "Г".
Доказать, что прямоугольник размерами 1961×1963 нельзя разбить на уголки, а прямоугольник размерами 1963×1965 – можно.


Решение

  Так как площадь "уголка" равна 3, то площадь прямоугольника, который можно разбить на "уголки", должна делиться на 3. Ни одно из чисел 1961 и 1963 на 3 не делится, и поэтому не делится на 3 и их произведение 1961·1963, так что первое утверждение доказано.
  Покажем, что второй прямоугольник разбить на "уголки" можно. Для этого прямыми, параллельными сторонам прямоугольника, разобьём его на прямоугольники 1965×1958, 1956×5 и 5×9 и покажем, что каждый из этих трёх прямоугольников можно разбить на "уголки". У первого прямоугольника длина одной стороны чётна, длина другой делится на 3; следовательно, его можно разбить на прямоугольники 2×3, каждый из которых в свою очередь разбивается на два "уголка". У второго прямоугольника одна сторона равна 5, длина другой делится на 6; разобьём его на прямоугольники 5×6, каждый из которых также разбивается на прямоугольники 2×3. Наконец, разобьём на "уголки" прямоугольник 5×9, как показано на рисунке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 25
Год 1962
вариант
1
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .