Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?

   Решение

Темы:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Неравенства с площадями ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние d = 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.

Решение

Полученный многоугольник содержит фигуру, которая состоит из точек, удалённых от исходного многоугольника не более чем на d = 1. Для выпуклого многоугольника площади S и периметра P такая фигура имеет площадь S + dP + d². В нашем случае эта фигура имеет площадь S + 12 + > S + 15.

Источники и прецеденты использования