|
|
 |
Условие
Решить в целых числах уравнение xy/z + xz/y + yz/x = 3.
Решение
Если тройка чисел x, y, z является решением уравнения, то либо все числа x, y, z положительны, либо одно из них положительно, а два другие – отрицательны (иначе правая часть будет отрицательной). Если тройка чисел x, y, z является решением, то, изменив знак у любых двух чисел из этой тройки, мы снова получим решение уравнения. Отсюда следует, что можно ограничиться рассмотрением только положительных решений.
Перепишем уравнение в виде 2x²y² + 2x²z² + 2y²z² = 6xyz. Имеем: 6xyz = (x²y² + x²z²) + (x²y² + y²z²) + (x²z² + y²z²) ≥ 2x²yz + 2y²xz + 2z²xy = 2xyz(x + y + z), так что x + y + z ≤ 3.
Так как x, y, z – натуральные числа, то единственным положительным решением уравнения является тройка: x = y = z = 1.
Ответ
(1, 1, 1), {1, –1, –1}.
