ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78472  (#1)

Темы:   [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

a1, a2, ..., an  – такие числа, что  a1 + a2 + ... + an = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a1a2 + a1a3 + ... + an–1an ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения aiaj,  i ≠ j).

Прислать комментарий     Решение

Задача 78473  (#2)

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Даны выпуклый четырёхугольник ABCD площади s и точка M внутри него. Точки P, Q, R, S симметричны точке M относительно середин сторон четырёхугольника ABCD. Найти площадь четырёхугольника PQRS.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78474  (#3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Решить в целых числах уравнение   xy/z + xz/y + yz/x = 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78475  (#4)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78476  (#5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Лист клетчатой бумаги размером 5×n заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких n это возможно?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .