Условие
Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет
хотя бы один угол, не больший
45
o. Доказать. (Сравните с
задачей 2 для 10 класса.)
Решение
Возможны два случая.
1) Данные точки являются вершинами выпуклого четырёхугольника
ABCD. Один из
его углов не превосходит
90
o. Пусть для определённости
A
90
o. Тогда один из углов
BAC и
CAD не
превосходит
90
o/2 = 45
o.
2) Точка
D лежит внутри треугольника
ABC. Один из углов треугольника
ABC
не превосходит
60
o. Пусть для определённости
A60
o. Тогда один из углов
BAD и
CAD не
превосходит
60
o/2 = 30
o.
Источники и прецеденты использования
