Информация о задаче

Задача 78480

Тема:

[

Четырехугольник (неравенства)

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Можно ли в прямоугольник с отношением сторон 9 : 16 вписать прямоугольник с отношением сторон 4 : 7 (так, чтобы на каждой стороне первого прямоугольника лежала вершина второго)?

Решение

Ответ: нет, нельзя. Докажем, что если прямоугольник с отношением сторон $\lambda$ < 1 вписан в прямоугольник с отношением сторон $\mu$ < 1, то $\mu$ $\ge$ $\lambda$ . Пусть вершины A₁, B₁, C₁, D₁ одного прямоугольника лежат на сторонах AB, BC, CD, DA другого прямоугольника. Тогда середина отрезка A₁C₁ лежит на отрезке, соединяющем середины сторон BC и AD, а середина отрезка B₁D₁ лежит на отрезке, соединяющем середины сторон AB и CD. Поэтому центры прямоугольников совпадают. Пусть AD₁ = x, AA₁ = y. Из подобия треугольников A₁AD₁ и B₁BA₁ следует, что A₁B = $\lambda$ x и BB₁ = $\lambda$ y для некоторого $\lambda$ . Ясно, что $\lambda$ = A₁B₁ : A₁D₁. Далее,

$\displaystyle {\frac{AD}{AB}}$ - $\displaystyle \lambda$ = $\displaystyle {\frac{x+\lambda y}{y+\lambda x}}$ - $\displaystyle \lambda$ = $\displaystyle {\frac{(1-\lambda ^2)y}{x+\lambda y}}$ > 0

при $\lambda$ < 1. Аналогично

$\displaystyle {\frac{AB}{AD}}$ - $\displaystyle \lambda$ = $\displaystyle {\frac{y+\lambda x}{x+\lambda y}}$ - $\displaystyle \lambda$ = $\displaystyle {\frac{(1-\lambda ^2)y}{x+\lambda y}}$ > 0.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	26
Год	1963
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	5