Задача 78483
|
|
 |
Условие
a, b, c – такие три числа, что abc > 0 и a + b + c > 0. Доказать, что an + bn + cn > 0 при любом натуральном n.
Решение
Если все три числа положительны, то утверждение очевидно. Если есть хотя бы одно отрицательное число, тогда, поскольку abc > 0, их ровно два. Пусть
a > 0, b, c < 0, тогда – b, – c > 0, а значит, при любом натуральном n > 1 имеем неравенство (– b – c)n > (– b)n + (– c)n. Поскольку a + b + c > 0, получаем, что an > (– b – c)n > (– b)n + (– c)n. Следовательно, an + bn + cn > 0.
