|
|
 |
Условие
Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.
Решение
Пусть O – центр описанной окружности, а M –
центр тяжести остроугольного треугольника ABC, A1 – середина BC. Отложим на луче OM отрезок OH = 3OM. Тогда треугольники OMA1 и HMA подобны по первому признаку (OM : MH = MA1 : MA = 1 : 2, ∠OMA1 = ∠HMA). Значит, ∠OA1M = ∠HAM. Поэтому
OA1 || AH, а значит, AH – высота. Аналогично доказывается, что BH и CH – высоты, то есть H – точка пересечения высот треугольника ABC. В остроугольном треугольнике точка H должна лежать внутри него. Поэтому OH < R, следовательно, OM = ⅓ OH < R/3. Таким образом, всё искомое ГМТ содержится во внутренности круга радиуса R/3 с центром в точке O.
Докажем, что каждая точка внутренности упомянутого круга является центром тяжести некоторого остроугольного треугольника, вписанного в данную окружность. В самом деле, если M совпадает с O, то подходит
правильный треугольник. Если же M лежит строго внутри круга радиуса
R/3 и не совпадает с O, то возьмём в качестве вершины A точку пересечения луча MO с данной окружностью, построим точку A1 так, что A1 лежит на продолжении отрезка AM за точку M и MA1 = ½ MA, затем проведём через точку A1 прямую BC, перпендикулярную AA1.
Треугольник ABC будет остроугольным, так как его точка пересечения высот H будет лежать внутри него.
Ответ
Внутренность круга радиуса R/3 с центром в центре исходной окружности.
