Условие
Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую
длину?
Решение
Пусть мы уже выбрали требуемым способом несколько векторов; и 
– их сумма. Проведём через центр O 25-угольника прямую l, перпендикулярную вектору
. Предположим, что среди выбранных векторов содержится вектор 
, лежащий на прямой l или по другую сторону от прямой l, чем вектор . Если мы исключим этот вектор из числа выбранных, то новая сумма будет иметь большую длину. Действительно, треугольник OAS – прямоугольный или тупоугольный, и значит, SA > OS, но
SA = | – |. Предположим ещё, что в число выбранных векторов не вошёл какой-либо вектор 
, лежащий по ту же сторону от прямой l, что и вектор . Присоединим этот вектор к числу выбранных; новая сумма будет иметь большую длину: рассмотрим параллелограмм OBВ'S; треугольник OB'S – тупоугольный и OВ' > OS, но OB' = | + |. Мы видим, что в число выбранных векторов должны войти любые двенадцать, идущие подряд (угол между крайними векторами меньше 180°, а при добавлении тринадцатого вектора этого угол становится больше развёрнутого).
Источники и прецеденты использования
