ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78504
Темы:    [ Неравенства с векторами ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?


Решение

Пусть мы уже выбрали требуемым способом несколько векторов; и    – их сумма. Проведём через центр O 25-угольника прямую l, перпендикулярную вектору  .  Предположим, что среди выбранных векторов содержится вектор  ,  лежащий на прямой l или по другую сторону от прямой l, чем вектор  .  Если мы исключим этот вектор из числа выбранных, то новая сумма будет иметь большую длину. Действительно, треугольник OAS – прямоугольный или тупоугольный, и значит,  SA > OS,  но   SA = ||.   Предположим ещё, что в число выбранных векторов не вошёл какой-либо вектор  ,  лежащий по ту же сторону от прямой l, что и вектор  .  Присоединим этот вектор к числу выбранных; новая сумма будет иметь большую длину: рассмотрим параллелограмм OBВ'S; треугольник OB'S – тупоугольный и  OВ' > OS,  но   OB' = | + |.   Мы видим, что в число выбранных векторов должны войти любые двенадцать, идущие подряд (угол между крайними векторами меньше 180°, а при добавлении тринадцатого вектора этого угол становится больше развёрнутого).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 26
Год 1963
вариант
1
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .