Условие
Доказать, что из одиннадцати произвольных бесконечных десятичных дробей можно
выбрать две дроби, разность которых имеет в десятичной записи либо бесконечное
число нулей, либо бесконечное число девяток.
Решение
По принципу Дирихле, для каждого знака после запятой найдётся пара
дробей, у которых на этом месте стоят одинаковые цифры. Отметим такую пару
последовательностей для каждого знака. Так как всего возможных пар конечное
число, какая-нибудь пара встретится бесконечно много раз, т. е. найдётся
пара дробей, десятичные записи которых совпадают в бесконечном числе знаков.
Докажем, что эта пара дробей является искомой. Рассмотрим разность этих
дробей. Если в некотором разряде десятичные записи дробей совпадают,
то у разности в этом разряде находится либо нуль (если при вычитании ``
в столбик'' из этого разряда не занимали), либо девятка (если занимали).
Следовательно, в десятичной записи разности либо бесконечное число нулей, либо
бесконечное число девяток.
Источники и прецеденты использования
