|
|
 |
Условие
Доказать, что из одиннадцати произвольных бесконечных десятичных дробей можно
выбрать две дроби, разность которых имеет в десятичной записи либо бесконечное
число нулей, либо бесконечное число девяток.
Решение
По принципу Дирихле, для каждого знака после запятой найдётся пара дробей, у которых на этом месте стоят одинаковые цифры. Отметим такую пару последовательностей для каждого знака. Так как всего возможных пар конечное число, какая-нибудь пара встретится бесконечно много раз, т. е. найдётся пара дробей, десятичные записи которых совпадают в бесконечном числе знаков. Докажем, что эта пара дробей является искомой. Рассмотрим разность этих дробей. Если в некотором разряде десятичные записи дробей совпадают, то у разности в этом разряде находится либо нуль (если при вычитании `` в столбик'' из этого разряда не занимали), либо девятка (если занимали). Следовательно, в десятичной записи разности либо бесконечное число нулей, либо бесконечное число девяток.
