Задача 78525

Тема:    [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Число N является точным квадратом и не заканчивается нулём. После зачёркивания у этого числа двух последних цифр снова получится точный квадрат. Найти наибольшее число N с таким свойством.

Решение

Пусть a — число, квадратом которого становится число N после зачёркивания у него двух последних цифр. Тогда N > 100a², откуда  > 10a. По условию, число  — целое. Следовательно, 10a + 1, то есть  N(10a + 1)² = 100a² + 20a + 1. С другой стороны, N < 100a² + 100. Следовательно, 20a + 1 < 100, то есть a < 5. Таким образом, наибольшее возможное значение a равно 4, т. е. искомое число имеет вид  . При x = 1 получаем  N = 41² = 1681, а при x2 получаем  N42² > 1700, но первые две цифры должны образовывать число a² = 16. Итак, наибольшее возможное значение N равно 1681.

Ответ

1681.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	10,11
Тур	1
задача
Номер	1