|
|
 |
Условие
На какое наименьшее число непересекающихся тетраэдров можно разбить куб?
Решение
Ответ: на 5. Если из куба ABCDA'B'C'D' вырезать тетраэдр A'BC'D, то оставшаяся часть куба распадается на 4 тетраэдра, т.е. куб можно разрезать на 5 тетраэдров. Докажем, что на меньшее число тетраэдров куб разрезать нельзя. Грань ABCD не может быть гранью тетраэдра, на которые разбит куб, потому что к ней прилегает по крайней мере два тетраэдра. Рассмотрим все тетраэдры, прилегающие к грани ABCD. Их высоты, опущенные на эту грань, не превосходят a, где a — ребро куба, а сумма площадей их граней, лежащих на ABCD, равна a2. Поэтому сумма их объёмов не превосходит a3/3. Так как грани одного тетраэдра не могут располагаться на противоположных гранях куба, к граням ABCD и A'B'C'D' прилегает по крайней мере 4 тетраэдра, причём сумма их объёмов не превосходит 2a3/3 < a3. Следовательно, есть ещё один тетраэдр разбиения.
