ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78531
Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через противоположные вершины A и C четырёхугольника ABCD проведена окружность, пересекающая стороны AB, BC, CD и AD соответственно в точках M, N, P и Q. Известно, что BM = BN = DP = DQ = R , где R — радиус данной окружности. Доказать, что в таком случае сумма углов B и D данного четырёхугольника равна 120o.

Решение

Пусть O – центр данной окружности. Из условия следует, что OMBN и OPDQ – ромбы. Поэтому AMO= B и AQO= D . Поэтому A= OAM+ OAQ= OMA+ OQA= B+ D . Аналогично, C= B+ D . Поскольку A+ B+ C+ D=360o , то B+ C=120o .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 27
Год 1964
вариант
1
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .