Задача 78535

Темы:    [ Симметричная стратегия ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На квадратном поле размерами 99×99, разграфленном на клетки размерами 1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго игрока первый всегда может выиграть.

Решение

Пусть первый игрок, начиная со второго хода, будет делать ходы, симметричные ходам второго игрока относительно центра поля. Тогда, как только второй игрок займет одну из угловых клеток, первый сможет занять противоположную угловую клетку.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	3