Страница: 1 [Всего задач: 4]
Задача
78533
(#1)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
В n стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды.
Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько
имеется в этом последнем. При каких n можно в конечное число шагов слить воду
в один стакан?
Задача
78534
(#2)
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9
|
Даны три точки A, B, C, лежащие на одной прямой, и точка O вне этой прямой.
Обозначим через
O1, O2, O3 центры окружностей, описанных около треугольников
OAB, OAC, OBC. Доказать, что точки O1, O2, O3 и O лежат на одной
окружности.
Задача
78535
(#3)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9
|
На квадратном поле размерами
99×99, разграфленном на клетки размерами
1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за
этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих
крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся
поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго
игрока первый всегда может выиграть.
Задача
78536
(#4)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9
|
Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника
A1A2...A7 взята произвольно точка O. Обозначим через
H1, H2,..., H7 основания перпендикуляров, опущенных из точки O на
стороны
A1A2, A2A3,..., A7A1 соответственно. Известно, что точки
H1, H2,..., H7 лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях.
Доказать, что
A1H1 + A2H2 + ... + A7H7 = H1A2 + H2A3 + ... + H7A1.
Страница: 1 [Всего задач: 4]