|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.
Решение
Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Из задачи 78539 следует, что точка I лежит на окружности с диаметром AO, то есть на Ω.
По условию периметр треугольника ABC равен 3BC. Поэтому удвоенная площадь треугольника ABC равна 3r·BC (r – радиус вписанной окружности). Следовательно, r = h/3, где h – длина высоты, опущенной на сторону BC. Значит, прямая l, проведённая параллельно BC через точку пересечения медиан (центр тяжести) треугольника ABC, проходит через точку I.
Из равенства вписанных углов В'AI и C'AI следует равенство хорд В'I и C'I. Значит, точка I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку В'C', то есть прямая l касается окружности Ω в точке I.
