|
|
 |
Условие
Окружности O1 и O2 лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне,
причём окружность O1 касается двух сторон треугольника, а окружность O2
-- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, что O1. Доказать,
что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в
треугольник.
Решение
Пусть окружность O1 касается сторон AC и AB треугольника ABC, окружность O2 касается сторон BC и AB, O — вписанная окружность. Обозначим радиусы окружностей O, O1 и O2 через r, r1 и r2. Пусть треугольники AB1C1 и A2BC2 подобны треугольнику ABC, причём коэффициенты подобия равны r1/r и r2/r соответственно. Окружности O1 и O2 являются вписанными для треугольников AB1C1 и A2BC2. Следовательно, эти треугольники пересекаются, так как иначе окружности O1 и O2 не имели бы общих точек. Поэтому AB1 + A2B > AB, т. е. r1 + r2 > r.
