ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78558
Тема:    [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружности O1 и O2 лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне, причём окружность O1 касается двух сторон треугольника, а окружность O2 -- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, что O1. Доказать, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.

Решение

Пусть окружность O1 касается сторон AC и AB треугольника ABC, окружность O2 касается сторон BC и AB, O — вписанная окружность. Обозначим радиусы окружностей O, O1 и O2 через r, r1 и r2. Пусть треугольники AB1C1 и A2BC2 подобны треугольнику ABC, причём коэффициенты подобия равны r1/r и r2/r соответственно. Окружности O1 и O2 являются вписанными для треугольников AB1C1 и A2BC2. Следовательно, эти треугольники пересекаются, так как иначе окружности O1 и O2 не имели бы общих точек. Поэтому  AB1 + A2B > AB, т. е. r1 + r2 > r.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 28
Год 1965
вариант
1
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .