Задача 78560

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Концы отрезка постоянной длины скользят по сторонам данного угла. Из середины этого отрезка к нему восставлен перпендикуляр. Докажите, что отрезок перпендикуляра от его начала до точки пересечения с биссектрисой угла имеет постоянную длину.

Решение

Пусть отрезок BC постоянной длины скользит по сторонам угла с вершиной A. Рассмотрим описанную окружность треугольника ABC. Её радиус R = постоянен. Рассматриваемый отрезок перпендикуляра от его основания до точки пересечения с биссектрисой угла — это отрезок, соединяющий середину дуги BC с серединой хорды BC. Ясно, что он имеет постоянную длину.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	28
Год	1965
вариант
	1
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	3