ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78560
Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Вспомогательная окружность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Концы отрезка постоянной длины скользят по сторонам данного угла. Из середины этого отрезка к нему восставлен перпендикуляр. Докажите, что отрезок перпендикуляра от его начала до точки пересечения с биссектрисой угла имеет постоянную длину.

Решение

Пусть отрезок BC постоянной длины скользит по сторонам угла с вершиной A. Рассмотрим описанную окружность треугольника ABC. Её радиус R = $ {\frac{BC}{2\sin A}}$ постоянен. Рассматриваемый отрезок перпендикуляра от его основания до точки пересечения с биссектрисой угла — это отрезок, соединяющий середину дуги BC с серединой хорды BC. Ясно, что он имеет постоянную длину.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 28
Год 1965
вариант
1
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .