Условие
На плоскости даны три точки. Построить три окружности, касающиеся друг друга
в этих точках. Разобрать все случаи.
Решение
Предположим, что мы построили окружности
S1,
S2
и
S3, попарно касающиеся в данных точках:
S1 и
S2 касаются в
точке
C;
S1 и
S3 — в точке
B;
S2 и
S3 — в
точке
A. Пусть
O1,
O2 и
O3 — центры окружностей
S1,
S2
и
S3. Тогда точки
A,
B и
C лежат на сторонах
треугольника
O1O2O3, причём
O1B =
O1C,
O2C =
O2A и
O3A =
O3B.
Поэтому точки
A,
B и
C являются точками касания вписанной или
вневписанной окружности треугольника
O1O2O3 со сторонами.
Из этого вытекает следующее построение. Строим описанную
окружность треугольника
ABC и проводим к ней касательные
в точках
A,
B и
C. Точки пересечения этих касательных являются
центрами искомых окружностей.
Источники и прецеденты использования
