ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78573
Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Малые шевеления ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан биллиард прямоугольной формы. В его углах имеются лузы, попадая в которые шарик останавливается. Шарик выпускают из одного угла бильярда под углом 45o к стороне. В какой-то момент он попал в середину некоторой стороны. Доказать, что в середине противоположной стороны он побывать не мог.

Решение

Предположим, что шарик выпустили в момент времени T=0 , в момент времени T=T1 шарик попал в середину одной стороны, а в момент T=T2>T1 – в середину противоположной. Траектории шарика при T близких к T1 и T2 получаются друг из друга симметрией либо относительно центра прямоугольника, либо относительно его средней линии, параллельной рассматриваемым сторонам. Но тогда и при всех t (не только при малых) положения шарика в моменты T1-t и T2-t будут симметричны друг другу. В частности, при T=T2-T1 шарик окажется в углу – противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 28
Год 1965
вариант
1
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .