Задача 78573

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Дан биллиард прямоугольной формы. В его углах имеются лузы, попадая в которые шарик останавливается. Шарик выпускают из одного угла бильярда под углом 45^o к стороне. В какой-то момент он попал в середину некоторой стороны. Доказать, что в середине противоположной стороны он побывать не мог.

Решение

Предположим, что шарик выпустили в момент времени T=0 , в момент времени T=T₁ шарик попал в середину одной стороны, а в момент T=T₂>T₁ – в середину противоположной. Траектории шарика при T близких к T₁ и T₂ получаются друг из друга симметрией либо относительно центра прямоугольника, либо относительно его средней линии, параллельной рассматриваемым сторонам. Но тогда и при всех t (не только при малых) положения шарика в моменты T₁-t и T₂-t будут симметричны друг другу. В частности, при T=T₂-T₁ шарик окажется в углу – противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	28
Год	1965
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	2