Задача 78582

Темы:    [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Неравенство Коши ] [ Построения в пространстве (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Дана плоскость P и две точки A и B по разные стороны от неё. Построить сферу, проходящую через эти точки, высекающую из P наименьший круг.

Решение

Рассмотрим произвольную сферу, проходящую через точки A и B. Проведём через точку M пересечения отрезка AB и плоскости P диаметр CD окружности, являющейся пересечением данной сферы с плоскостью P. По свойству хорд  MC·MD = MA·MB.  Поэтому произведение чисел MC и MD не зависит от выбора сферы. Минимум суммы двух чисел при фиксированном произведении достигается в случае, когда они равны, то есть  MC = MD = .

Ответ

Центр искомой сферы находится в точке M пересечения отрезка AB и плоскости P, а её радиус равен  .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	28
Год	1965
вариант
	1
Класс	11
Тур	2
задача
Номер	3