У Васи есть камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой?

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.

Решение

  Пусть  M_AB – ГМТ M, для которых треугольник ABM – равнобедренный. Тогда  M_AB = s(B, AB) ∪ s(A, AB) ∪ l_AB \ {A, B},  где  s(O, r)  – окружность с центром O и радиусом r, l_AB – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Аналогично определяется множество M_BC. Искомым ГМТ является пересечение
M = M_AB ∩ M_BC.
  Если  AB ≠ BC,  то множество M состоит из не более чем 14 точек. Если  AB = BC,  то M состоит из окружности  s(B, AB)  и еще не более шести точек.

Источники и прецеденты использования