Задача 78607

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Чему равна максимальная разность между соседними числами из числа тех, сумма цифр которых делится на 7?

Решение

Докажем сначала, что эта разность не может быть больше 13. Действительно, среди 13 подряд идущих натуральных чисел хотя бы у одного сумма цифр делится на 7, поскольку среди 13 подряд идущих натуральных чисел хотя бы 7 лежат в одном десятке. Но тогда суммы цифр этих семи чисел — последовательные натуральные числа, а значит, среди них есть число, делящееся на семь. Итак, искомое число не больше 13. Но между числами 993 и 1006 нет других чисел, сумма цифр которых делится на семь, а 1006 - 993 = 13. Итак, искомая разность равна 13.

Ответ

13.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4