Задача 78608

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Имеется 120-значное число. Его первые 12 цифр переставляются всеми возможными способами. Из полученных таким образом 120-значных чисел наугад выбирают 120 чисел. Доказать, что их сумма делится на 120.

Решение

По условию задачи каждое слагаемое имеет вид  A_i = 10¹⁰⁸a_i + X,  где a_i – 12-значное число, а X – 108-значное, причём число X одно и то же для всех слагаемых.   A_i = 120X + 10¹⁰⁸a_i,   то есть достаточно доказать, что число  10¹⁰⁸a_i  делится на 120. Но  120 = 3·40,  а число 10¹⁰⁸ делится на 40. Следовательно, достаточно доказать, что  a_i  делится на 3. Поскольку числа a_i отличаются только перестановкой цифр, а остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления на 3 его суммы цифр, остатки от деления на 3 у всех слагаемых одинаковы. Но сумма кратного 3 числа слагаемых, дающих одинаковый остаток при делении на 3, делится на 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	5