Задача 78610

Темы:    [ Наименьший или наибольший угол ] [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные расстояния между которыми все больше 1.

Решение

Допустим, что внутри круга радиуса 1 можно расположить шесть точек так, чтобы расстояние между любыми двумя было больше 1. Так как расстояние от центра круга радиуса 1 до любой его точки не превосходит единицы, то ни одна из этих шести точек не может совпадать с центром круга. Пусть A₁,..., A₆ — это данные точки, занумерованные по часовой стрелке, O — центр круга. Так как A₁OA₂ + ... + A₆OA₁ = 360^o, то одно из слагаемых не превосходит 60^o, то есть A_kOA_{k + 1}60^o для некоторого k. Таким образом, получаем, что какие-то две данные точки лежат в одном секторе с углом 60^o. Но внутри такого сектора нет точек, расстояние между которыми больше радиуса круга, а значит, расстояние между этими точками не превосходит 1. Полученное противоречие доказывает, что расставить описанным в условии задачи способом больше пяти точек невозможно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	2