Задача 78614

Тема:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AE, BM и CP. Известно, что EM параллельна AB и EP параллельна AC. Докажите, что MP параллельна BC.

Решение

Треугольники ACB и ECM подобны, поскольку угол C у них общий и EC : AC = cos C = MC : BC. Поэтому MEC = BAC. С другой стороны, MEC = ABC, поскольку EM || AB. Таким образом, A = B. Аналогично из того, что EP || AC, следует, что A = C. Поэтому треугольник ABC равносторонний, а для равностороннего треугольника очевидно, что MP || BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	1